Chapter test: ಕೌಂಟಿಂಗ್ (Counting), ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ (Mathematical Induction) ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Discrete Probability) | Counting, Mathematical Induction and Discrete Probability

Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಜೂನ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 13. ಟ್ರೂತ್ ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ 2 ರ ಘಾತ n ಸಾಲುಗಳು; ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ ಔಟ್‌ಪುಟ್ 0 ಅಥವಾ 1. 2 ರ ಘಾತ n ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. | Source: UGC NET June 2019, Paper II, Q13. The truth table has 2 to the power n rows, and each row outputs 0 or 1. 2 to the power n is the near miss; it is the number of rows, not of functions.

Explanation: P(ಕೆಂಪು) = (1/2)(3/5) + (1/2)(1/5) = 2/5. P(ಚೀಲ 1 / ಕೆಂಪು) = (3/10) / (2/5) = 3/4. 3/5 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು P(ಕೆಂಪು / ಚೀಲ 1), ಕಂಡಿಷನಲ್ ಅನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿದೆ. 2/5 ಎಂಬುದು ಟೋಟಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ, ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮೊದಲು ನಿಂತಿದೆ. | P(red) = (1/2)(3/5) + (1/2)(1/5) = 2/5. P(bag 1 / red) = (3/10) / (2/5) = 3/4. 3/5 is the near miss; it is P(red / bag 1), the conditional reversed. 2/5 is the total probability, stopping one step early.

Explanation: ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಮೊದಲು 1 ಕೊಡಿ; ಉಳಿದ 7 ಅನ್ನು ಹಂಚಿ: C(7 + 2, 2) = C(9, 2) = 36. 66 ಎಂಬುದು ಋಣವಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿ, ಶೂನ್ಯ ಅನುಮತಿಸಿದ ತಪ್ಪು. | Give each variable 1 first and distribute the remaining 7: C(7 + 2, 2) = C(9, 2) = 36. 66 is the non-negative version, which wrongly allows zero.

Explanation: n = 5: 32 > 25. n = 4 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: 16 = 16, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ > ಅಸತ್ಯ. n = 1 ರಲ್ಲಿ 2 > 1 ಸತ್ಯವಾದರೂ n = 2, 3, 4 ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆ ವಿಫಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿಂದ ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಟೆಪ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡದು. | n = 5: 32 > 25. n = 4 is the near miss: 16 = 16, so the strict > fails. n = 1 gives 2 > 1, but the claim fails at n = 2, 3 and 4, so no inductive step can start there.

Explanation: ಎಲ್ಲಾ 32 ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಸದಸ್ಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುವ 2 ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು ಆನ್ಟು ಅಲ್ಲ: 32 − 2 = 30. 31 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅಂತಹ ಎರಡು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಳೆದಿದೆ. | Of the 32 functions, the 2 that send everything to one element are not onto: 32 − 2 = 30. 31 is the near miss; it removes only one of those two.

Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಜೂನ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 3. 1 ರಿಂದ ಆರಂಭ: 2 ರ ಘಾತ 9 = 512. 00 ರಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯ: 2 ರ ಘಾತ 8 = 256. ಎರಡೂ: 2 ರ ಘಾತ 7 = 128. 512 + 256 − 128 = 640. 768 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಎರಡರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಮರೆತಿದೆ. | Source: UGC NET June 2019, Paper II, Q3. Starting with 1: 2 to the 9 = 512. Ending with 00: 2 to the 8 = 256. Both: 2 to the 7 = 128. 512 + 256 − 128 = 640. 768 is the near miss; it forgets to subtract the overlap.

Explanation: P(A ∩ B) = 0, ಆದರೆ P(A) P(B) > 0; ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ಸೂತ್ರ ವಿಫಲ. ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದು ಬಲವಾದ ಅವಲಂಬನೆ. P(A/B) = P(A) ಎಂಬುದು ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲಿ P(A/B) = 0. | P(A ∩ B) = 0 but P(A) P(B) > 0, so the independence formula fails. One event happening makes the other impossible, which is strong dependence. P(A/B) = P(A) is the definition of independence, while here P(A/B) = 0.

Explanation: ಪ್ರತಿ ವಸ್ತು ತನ್ನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ 1/n; ಲೀನಿಯಾರಿಟಿಯಿಂದ n × 1/n = 1. 1/e ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಯಾವುದೂ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರದ (ಡಿರೇಂಜ್‌ಮೆಂಟ್) ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿಯ ಮಿತಿ. | Each object stays put with probability 1/n; by linearity n × 1/n = 1. 1/e is the near miss; it is the limiting probability that none stays put, a derangement.

Explanation: P(ಧನಾತ್ಮಕ) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594; P(ರೋಗ / ಧನಾತ್ಮಕ) = 0.0099 / 0.0594 = 1/6. 0.99 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು P(ಧನಾತ್ಮಕ / ರೋಗ), ಕಂಡಿಷನಲ್ ಅನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿದ ತಪ್ಪು. 0.01 ಎಂಬುದು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಮೊದಲಿನ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ. | P(positive) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594; P(sick / positive) = 0.0099 / 0.0594 = 1/6. 0.99 is the near miss; it is P(positive / sick), the conditional turned around. 0.01 is the probability before testing.

Explanation: ಗಣಿತ ಅಥವಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಒಂದೇ ಪುಸ್ತಕ: ಸಮ್ ರೂಲ್ (Sum Rule), 5 + 4 = 9. 20 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಪ್ರತಿ ವಿಷಯದಿಂದ ಒಂದೊಂದು ಆರಿಸಿದಾಗಿನ ಉತ್ತರ. | Mathematics or physics, one book: the sum rule gives 5 + 4 = 9. 20 is the near miss; it answers choosing one book from each subject.

Explanation: ಡೊಮೈನ್‌ನ ಪ್ರತಿ 3 ಸದಸ್ಯರಿಗೆ 4 ಆಯ್ಕೆಗಳು: 4 ರ ಘಾತ 3 = 64. 81 ಎಂಬುದು 3 ರ ಘಾತ 4, ದಿಕ್ಕು ತಿರುಗಿಸಿದ ತಪ್ಪು. 24 ಎಂಬುದು ಒನ್-ಟು-ಒನ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. | Each of the 3 domain elements has 4 choices: 4 to the power 3 = 64. 81 is 3 to the power 4, the reversed direction. 24 counts only the one-to-one functions.

Explanation: ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೈಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂಬ ಸಾಬೀತಿಗೆ ಬೇಕು. P(k) ಮಾತ್ರ ಎಂಬುದು ಸಾಮಾನ್ಯ (weak) ಇಂಡಕ್ಷನ್, ಸಹೋದರ ವಿಧಾನ. ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ P(n) ಊಹಿಸುವುದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದುದನ್ನೇ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. | Strong induction may use every earlier case; the proof that every integer is a product of primes needs this. P(k) only is ordinary weak induction, the sibling method. Assuming P(n) for all n assumes what is to be proved.

Explanation: 12 ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು (ತಿಂಗಳುಗಳು); 12 ಜನರು ಬೇರೆಬೇರೆ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು, 13 ನೇ ವ್ಯಕ್ತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. 12 ಎಂಬುದು 1 ಸೇರಿಸಲು ಮರೆತ ತಪ್ಪು. | 12 boxes (months); 12 people can all differ, so the 13th forces a repeat. 12 forgets to add the one.

Explanation: ಪ್ರತಿ ಘಟನೆ 1/2; ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯ ಇಂಟರ್‌ಸೆಕ್ಷನ್ HH, ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ 1/4 = 1/2 × 1/2. ಆದರೆ P(A ∩ B ∩ C) = 1/4 ≠ 1/8. ಮ್ಯೂಚುವಲಿ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಎಂಬ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಮೂರರ ಷರತ್ತು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. | Each event has probability 1/2, and each pairwise intersection is HH with probability 1/4 = 1/2 × 1/2. But P(A ∩ B ∩ C) = 1/4 ≠ 1/8. Mutually independent is the near miss; the three-way condition fails.

Explanation: ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು C(6, 2) = 15; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 6 ಬಾಹುಗಳು; 15 − 6 = 9. 15 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಮರೆತಿದೆ. | Segments joining two vertices: C(6, 2) = 15, of which 6 are sides: 15 − 6 = 9. 15 is the near miss; it forgets to subtract the sides.

Explanation: 5 ಅಕ್ಷರಗಳು; L ಎರಡು ಬಾರಿ, E ಎರಡು ಬಾರಿ: 5! / (2! × 2!) = 30. 60 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಭಾಗಿಸಿದೆ. | 5 letters with L twice and E twice: 5! / (2! × 2!) = 30. 60 is the near miss; it divides out only one of the repeats.

Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಜೂನ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 2. ಸ್ಟಾರ್ಸ್ ಆಂಡ್ ಬಾರ್ಸ್: C(8 + 4 − 1, 4 − 1) = C(11, 3) = 165. 70 ಎಂಬುದು C(8, 4), ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಆರಿಸುವ ಸೂತ್ರ; ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಡಬ್ಬಿಗೆ ಹಲವು ಚೆಂಡುಗಳು ಹೋಗಬಹುದು. | Source: UGC NET June 2019, Paper II, Q2. Stars and bars: C(8 + 4 − 1, 4 − 1) = C(11, 3) = 165. 70 is C(8, 4), the formula for choosing each item at most once; here many balls may share a bin.

Explanation: ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ 2 ಆಯ್ಕೆ, ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ ರೂಲ್: 2 ರ ಘಾತ 8 = 256. 16 ಎಂಬುದು 2 × 8, ಗುಣಿಸುವ ಬದಲು ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ತಪ್ಪು. | Two choices per position, by the product rule: 2 to the power 8 = 256. 16 is 2 × 8, multiplying by the length instead of raising to it.

Explanation: (1 + 1) ರ ಘಾತ n ವಿಸ್ತರಿಸಿ; ಇದು n ಸದಸ್ಯರ ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಬ್‌ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೂಡ. 2 ರ ಘಾತ n ಕಳೆ 1 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು C(n, 0) ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟಿದೆ, ಅಂದರೆ ಖಾಲಿ ಸಬ್‌ಸೆಟ್. | Expand (1 + 1) to the power n; it also counts all subsets of an n-set. 2 to the power n minus 1 is the near miss; it drops C(n, 0), the empty subset.

Explanation: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1): 36 ರಲ್ಲಿ 6 = 1/6. 1/12 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು 3 ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಣಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ದಾಳಗಳು ಬೇರೆಬೇರೆ. | (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1): 6 of 36 = 1/6. 1/12 is the near miss; it counts only 3 unordered pairs, but the dice are distinct.

Explanation: ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಶನ್, p = 1/2: E = 1/p = 2. 1 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಮೊದಲ ಎಸೆತದಲ್ಲೇ ಹೆಡ್ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದೆ, ಅದು ಅರ್ಧ ಸಮಯ ಮಾತ್ರ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. | Geometric distribution with p = 1/2: E = 1/p = 2. 1 is the near miss; it assumes a head on the first toss, which happens only half the time.

Explanation: ಒಬ್ಬರನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟು ಉಳಿದ 5 ಜನರನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ: 5! = 120. 720 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಸಾಲಿನ ಜೋಡಣೆ, ತಿರುಗಿಸಿದ 6 ರೂಪಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಎಂದು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. 360 ಎಂಬುದು ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವೂ ಒಂದೇ ಎಂದಾಗ (ಹಾರ) ಮಾತ್ರ ಸರಿ. | Fix one person and arrange the other 5: 5! = 120. 720 is the near miss; it is a line arrangement that counts the 6 rotations separately. 360 is right only when mirror images are also identified, as with a necklace.

Explanation: ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ 4 ಆಯ್ಕೆ, ಎರಡನೆಯದು 3, ಮೂರನೆಯದು 2: P(4, 3) = 24. 4 ಎಂಬುದು C(4, 3), ಚಿತ್ರಣ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಣಿಸಿ ಕ್ರಮ ಮರೆತ ತಪ್ಪು. | The first element has 4 choices, the second 3, the third 2: P(4, 3) = 24. 4 is C(4, 3), counting image sets and forgetting order.

Explanation: 50 + 33 − 16 = 67; 16 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 6 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತವೆ. 83 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಿದ 6 ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಮರೆತಿದೆ. | 50 + 33 − 16 = 67, where 16 numbers are divisible by 6. 83 is the near miss; it forgets to remove the multiples of 6 counted twice.

Explanation: 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7; 0.5 × 0.4 = 0.2 = P(A ∩ B), ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್. ಮ್ಯೂಚುವಲಿ ಎಕ್ಸ್‌ಕ್ಲೂಸಿವ್ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದಕ್ಕೆ P(A ∩ B) = 0 ಬೇಕು, ಇಲ್ಲಿ 0.2. | 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7; 0.5 × 0.4 = 0.2 = P(A ∩ B), so they are independent. Mutually exclusive is the near miss; it needs P(A ∩ B) = 0, and here it is 0.2.