Chapter test: ಸೆಟ್‌ಗಳು (Sets) ಮತ್ತು ರಿಲೇಶನ್‌ಗಳು (Relations) | Sets and Relations

Explanation: 20 + 15 − 5 = 30. 35 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಿದೆ. | 20 + 15 − 5 = 30. 35 is the near miss; it counts the common members twice.

Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಜೂನ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 9. ಸದಸ್ಯರನ್ನು a, b, c ಎನ್ನಿ. R = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, b)}. (a, c) ಮತ್ತು (c, b) ಇಂದ (a, b); (c, a) ಮತ್ತು (a, c) ಇಂದ (c, c). ಇವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆ. ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: (a, b) ಸೇರಿಸಿದೆ ಆದರೆ (c, b) ಅನ್ನೇ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದೆ, ಕ್ಲೋಶರ್ ಮೂಲ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಎಂದೂ ತೆಗೆಯುವುದಿಲ್ಲ. | Source: UGC NET June 2019, Paper II, Q9. Call the elements a, b, c. R = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, b)}. (a, c) and (c, b) give (a, b); (c, a) and (a, c) give (c, c). Adding these gives the first option. The last option is the near miss: it adds (a, b) but drops (c, b), and a closure never removes original pairs.

Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಜೂನ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 1. 24 ಮತ್ತು 45 ಎರಡೂ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್, ಪರಸ್ಪರ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ಇಲ್ಲ. 3 ಮತ್ತು 5 ಎರಡೂ ಮಿನಿಮಲ್, ಪರಸ್ಪರ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಲೀಸ್ಟ್ ಇಲ್ಲ. ಲೀಸ್ಟ್ ಇದೆ ಎಂಬ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; 3 ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಕಂಡರೂ ಅದು 5 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ. | Source: UGC NET June 2019, Paper II, Q1. 24 and 45 are both maximal and neither divides the other, so there is no greatest element. 3 and 5 are both minimal and neither divides the other, so there is no least element. The least-exists option is the near miss; 3 looks smallest but does not divide 5.

Explanation: ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್‌ಗೆ ಪ್ರತಿ (a, a) ಇರಬೇಕು, ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಉಳಿದ ಮೂರು ಗುಣಗಳು ಹೀಗಿದ್ದರೆ ಹಾಗೆ ರೂಪದವು, ಹೈಪೋಥಿಸಿಸ್ ಎಂದೂ ಸತ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ ಅವು ಸ್ವಯಂ ಸತ್ಯ. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಅನ್ನು ಆರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು. | Reflexive needs every (a, a), and there are none. The other three properties are if-then conditions whose hypothesis never holds, so they are vacuously true. Picking transitive is the usual slip.

Explanation: A × A ಯಲ್ಲಿ 9 ಜೋಡಿಗಳು; 2 ರ ಘಾತ 9 = 512. 64 ಎಂಬುದು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ (Reflexive) ರಿಲೇಶನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು. | A × A has 9 pairs; 2 to the power 9 = 512. 64 is the number of reflexive relations, the near miss.

Explanation: B ಯಲ್ಲೂ ಇಲ್ಲ, C ಯಲ್ಲೂ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳ ∩. ∪ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು A − (B ∩ C) ಗೆ ಸಮಾನ. | Not in B and not in C is an intersection of the two conditions. The ∪ option is the near miss; it equals A − (B ∩ C).

Explanation: c ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇದ್ದರೆ a ~ c ~ b, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಲಾಸ್‌ಗಳು ಸಮಾನ. ಯಾವಾಗಲೂ ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; a ~ b ಆದಾಗ ಅವು ಒಂದೇ ಕ್ಲಾಸ್. ಸಮಾನ ಗಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; {{1, 2}, {3}} ನೋಡಿ. | If c lies in both, a ~ c ~ b, so the classes are equal. Always disjoint is the near miss; when a ~ b they are the same class. Equal size is not required; see {{1, 2}, {3}}.

Explanation: ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುವವರು = ಯೂನಿಯನ್‌ನಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ ತೆಗೆದದ್ದು. (A − B) ∩ (B − A) ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಆ ಎರಡು ಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ∅. ಸರಿಯಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ∪ ಬೇಕು. | Members of exactly one set = the union minus the common part. (A − B) ∩ (B − A) is the near miss; those two parts are disjoint, so it is always ∅. The correct form uses ∪.

Explanation: (1, 3) ಮತ್ತು (2, 4) ನೇರವಾಗಿ ಬೇಕು; ಅವುಗಳಿಂದ (1, 4) ಕೂಡ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು 3. 2 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಹೊಸ ಜೋಡಿಗಳು ಹೊಸ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅದು ಮರೆತಿದೆ. | (1, 3) and (2, 4) are needed directly, and they in turn force (1, 4). That makes 3. 2 is the near miss; it forgets that new pairs create new chains.

Explanation: ಮೊದಲು R: 1 → 2, ನಂತರ S: 2 → 4, ಆದ್ದರಿಂದ (1, 4). 2 → 3 → 5, ಆದ್ದರಿಂದ (2, 5). ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಎಂಬುದು ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ R ∘ S ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ ಫಲ: S ನ ಗುರಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 5 R ನಲ್ಲಿ ಆರಂಭವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. | First R: 1 → 2, then S: 2 → 4, giving (1, 4). 2 → 3 → 5 gives (2, 5). The empty set comes from reversing the order and computing R ∘ S: the targets 4 and 5 of S start nothing in R.

Explanation: a = b ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, (a, a) ಇದ್ದರೆ (a, a) ಇರಬಾರದು ಎಂಬ ವಿರೋಧಾಭಾಸ; ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವ (a, a) ಇರಲಾರದು. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಎಂಬುದು ತಪ್ಪು; {(1, 2), (2, 3)} ಅಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆದರೂ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಅಲ್ಲ. | Taking a = b, (a, a) would forbid (a, a) itself, a contradiction; so no (a, a) can be present. Transitive fails: {(1, 2), (2, 3)} is asymmetric but not transitive.

Explanation: ಪಾರ್ಟಿಶನ್‌ಗಳು: ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಬ್ಲಾಕ್ 1, ಎರಡು ಬ್ಲಾಕ್ 3, ಮೂರು ಸಿಂಗಲ್‌ಟನ್ 1; ಒಟ್ಟು 5 (ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ). 8 ಎಂಬುದು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಮತ್ತು ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಿಲೇಶನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಅಲ್ಲ. | Partitions: one block 1, two blocks 3, three singletons 1; total 5, the Bell number. 8 counts relations that are reflexive and symmetric, some of which are not transitive.

Explanation: a − a = 0 ಸಮ; a − b ಸಮವಾದರೆ b − a ಸಮ; ಎರಡು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಮ. ಇದು ಕಾಂಗ್ರುಯೆನ್ಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲೊ 2. a ≤ b ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್, ಆದರೆ ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲ, ಅದು ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಆರ್ಡರ್. | a − a = 0 is even; if a − b is even so is b − a; the sum of two even numbers is even. This is congruence modulo 2. a ≤ b is the near miss: reflexive and transitive but not symmetric, so it is a partial order instead.

Explanation: ಸೀಮಿತ ಪೋಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯದಿಂದ ಮೇಲೆ ಹೋಗುವ ಸರಪಳಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಮುಗಿಯಬೇಕು; ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗೆ. ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ಇರದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಅನಂತ ಪೋಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಟೋಟಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; {1, 2, 3, 6} ಉದಾಹರಣೆ. | In a finite poset every upward chain must end at some maximal element; with only one, everything lies below it. No greatest element is possible only in infinite posets. A total order is not required; {1, 2, 3, 6} shows why.

Explanation: ಡಯಾಗೊನಲ್: 2 ರ ಘಾತ 3 = 8; 3 ಜೋಡಿಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೆ 3 ಆಯ್ಕೆ: 27. 8 × 27 = 216. 27 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಅಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ (Asymmetric) ಸಂಖ್ಯೆ, ಡಯಾಗೊನಲ್ ಅನ್ನು 0 ಎಂದು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿದೆ. | Diagonal: 2 to the power 3 = 8; 3 pairs with 3 choices each: 27. 8 × 27 = 216. 27 is the near miss; it is the asymmetric count, with the diagonal forced to 0.

Explanation: ಲೂಪ್‌ಗಳು (ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವಿಟಿ) ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯಿಂದ ಬರುವ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದ ನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು ನೇರ ಮುಂದಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಅಂಚುಗಳು ಮಾತ್ರ ಎಂಬುದು ತಲೆಕೆಳಗು; ಅವುಗಳನ್ನೇ ತೆಗೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. | Once loops (reflexivity) and edges implied by transitivity are removed, the immediate-successor relations remain. Only the transitive edges is backwards; those are exactly what is removed.

Explanation: ಒಟ್ಟು 32 ಸಬ್‌ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಾಪರ್ ಅಲ್ಲ: 32 − 1 = 31. 30 ಎಂಬುದು ∅ ಅನ್ನೂ ತೆಗೆದ ತಪ್ಪು; ∅ ಪ್ರಾಪರ್ ಸಬ್‌ಸೆಟ್. | Of the 32 subsets only the set itself is not proper: 32 − 1 = 31. 30 also removes ∅, but ∅ is a proper subset.

Explanation: ಮೂರು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಲೂಪ್‌ಗಳು (k, i, j), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ n ಬಾರಿ. O(n ಘಾತ 4) ಎಂಬುದು R, R ವರ್ಗ, ... ಎಂದು n ಬಾರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡುವ ಸರಳ ವಿಧಾನದ ಸಮಯ, ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು. | Three nested loops (k, i, j), each running n times. O(n to the power 4) is the cost of the naive method that multiplies matrices n times for R, R squared and so on, the near miss.

Explanation: A ಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ B ಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ A ಸ್ವತಃ. A ∪ B = A ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕು, B ⊆ A ಗೆ ಸಮಾನ. | If every member of A is in B, the common part is A itself. A ∪ B = A is the near miss; it is the reverse direction, equivalent to B ⊆ A.

Explanation: (1, 2) ಮತ್ತು (2, 3) ಇವೆ, ಆದರೆ (1, 3) ಇಲ್ಲ. ಡಯಾಗೊನಲ್ ಪೂರ್ತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಇದೆ. ಮೂರೂ ಗುಣಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಇದು ಈಕ್ವಿವಲೆನ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆ. | (1, 2) and (2, 3) are present but (1, 3) is not. The diagonal is complete and every pair has its mirror. All three is the near miss; this is the standard example of a relation that is not an equivalence.

Explanation: ಡಯಾಗೊನಲ್‌ನ 4 ಸ್ಥಾನಗಳು ಸ್ಥಿರ, ಉಳಿದ 16 − 4 = 12 ಸ್ಥಾನಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ. 2 ರ ಘಾತ 10 ಎಂಬುದು ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ (Symmetric) ರಿಲೇಶನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು. | The 4 diagonal cells are fixed and the other 16 − 4 = 12 cells are free. 2 to the power 10 is the number of symmetric relations, the near miss.

Explanation: ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಿನಿಮಲ್ ಸದಸ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾ ಹೋದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ಇರಬೇಕಿಲ್ಲ; ಈ ಪಾಠದ ಜೂನ್ 2019 ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪೋಸೆಟ್ ನೋಡಿ. | Removing a minimal element at each step yields a linear order that respects every comparison. A greatest element need not exist; see the poset in the June 2019 question in this topic.

Explanation: A ಯ ಸದಸ್ಯರು 1 ಮತ್ತು {2}. ಆದ್ದರಿಂದ {2} ∈ A. {2} ⊆ A ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದಕ್ಕೆ 2 ∈ A ಬೇಕು, ಆದರೆ 2 ನೇರ ಸದಸ್ಯವಲ್ಲ. | The members of A are 1 and {2}, so {2} ∈ A. {2} ⊆ A is the near miss; it needs 2 ∈ A, and 2 is not a direct member.

Explanation: n(A × B) = 6, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರಿಲೇಶನ್ ಅದರ ಸಬ್‌ಸೆಟ್: 2 ರ ಘಾತ 6 = 64. 8 ಎಂಬುದು A ಯಿಂದ B ಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (2 ರ ಘಾತ 3), ರಿಲೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲ. | n(A × B) = 6 and each relation is a subset of it: 2 to the power 6 = 64. 8 is the number of functions from A to B (2 to the power 3), not relations.

Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಡಿಸೆಂಬರ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 4. ಜಿಸಿಡಿ (3, 9, 12) = 3, ಎಲ್‌ಸಿಎಂ = 36; ಜಿಸಿಡಿ (1, 2, 4, 5, 10) = 1, ಎಲ್‌ಸಿಎಂ = 20. 108 ಎಂಬುದು 9 × 12, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಎಲ್‌ಸಿಎಂ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ತೆಗೆದದ್ದು; ಎಲ್‌ಯುಬಿ 10 ಎಂಬುದು 4 ಅನ್ನು ಮರೆತಿದೆ. | Source: UGC NET December 2019, Paper II, Q4. GCD(3, 9, 12) = 3 and LCM = 36; GCD(1, 2, 4, 5, 10) = 1 and LCM = 20. 108 is 9 × 12, taking a product for the LCM; LUB 10 forgets the 4.