30 questions, picked at random from 127. Reload the page for a new set.
Explanation: ಮೂಲ: ಯುಜಿಸಿ ನೆಟ್ (UGC NET) ಜೂನ್ 2019, ಪತ್ರಿಕೆ 2 (Paper II), ಪ್ರಶ್ನೆ 9. ಸದಸ್ಯರನ್ನು a, b, c ಎನ್ನಿ. R = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, b)}. (a, c) ಮತ್ತು (c, b) ಇಂದ (a, b); (c, a) ಮತ್ತು (a, c) ಇಂದ (c, c). ಇವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆ. ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: (a, b) ಸೇರಿಸಿದೆ ಆದರೆ (c, b) ಅನ್ನೇ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದೆ, ಕ್ಲೋಶರ್ ಮೂಲ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಎಂದೂ ತೆಗೆಯುವುದಿಲ್ಲ. | Source: UGC NET June 2019, Paper II, Q9. Call the elements a, b, c. R = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, b)}. (a, c) and (c, b) give (a, b); (c, a) and (a, c) give (c, c). Adding these gives the first option. The last option is the near miss: it adds (a, b) but drops (c, b), and a closure never removes original pairs.
Explanation: ಪ್ರತಿ (a, b) ಗೆ (b, a) ಸೇರಿಸಿದರೆ ಸಾಕು, ಅದೇ R ನ ಇನ್ವರ್ಸ್. R ∪ ಡಯಾಗೊನಲ್ ಎಂಬುದು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಕ್ಲೋಶರ್, ಸಹೋದರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ∩ ಆಯ್ಕೆ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತದೆ; ಕ್ಲೋಶರ್ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ ಮಾತ್ರ. | Adding (b, a) for each (a, b) is enough, and that is the inverse of R. R ∪ the diagonal is the reflexive closure, the sibling idea. The ∩ option removes pairs, while a closure only adds.
Explanation: p ∨ q ನಾಲ್ಕು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಸತ್ಯ: TT, TF, FT. ಪ್ರತಿ T ಸಾಲು ಒಂದು ಮಿಂಟರ್ಮ್. 1 ಎಂಬುದು ಅದರ ಪಿಸಿಎನ್‌ಎಫ್ (PCNF) ನಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್‌ಟರ್ಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎರಡರ ಗೊಂದಲ. | p ∨ q is true in three of four rows: TT, TF, FT. Each T row is one minterm. 1 is the number of maxterms in its PCNF, a mix-up between the two.
Explanation: ಒಬ್ಬರನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟು ಉಳಿದ 5 ಜನರನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ: 5! = 120. 720 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಸಾಲಿನ ಜೋಡಣೆ, ತಿರುಗಿಸಿದ 6 ರೂಪಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಎಂದು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. 360 ಎಂಬುದು ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವೂ ಒಂದೇ ಎಂದಾಗ (ಹಾರ) ಮಾತ್ರ ಸರಿ. | Fix one person and arrange the other 5: 5! = 120. 720 is the near miss; it is a line arrangement that counts the 6 rotations separately. 360 is right only when mirror images are also identified, as with a necklace.
Explanation: ಸೋಮಾರಿ ಆಗಿರುವ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಇದ್ದಾನೆ: ∃ ಜೊತೆ ∧. ∃x (S(x) → L(x)) ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಡೊಮೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಲ್ಲದ ಒಂದು ವಸ್ತು ಇದ್ದರೂ ಅದು ಸತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. | There is someone who is a student and lazy: ∃ with ∧. ∃x (S(x) → L(x)) is the near miss; it is already true if the domain contains one non-student.
Explanation: p only if q ಎಂದರೆ p ಆಗಿದ್ದರೆ q ಇರಲೇಬೇಕು: p → q. q → p ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು; ಅದು if q then p, ಅಂದರೆ ಟಿಕೆಟ್ ಇದ್ದರೆ ಪ್ರಯಾಣ ಖಚಿತ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ವಾಕ್ಯದ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. | p only if q means that if p happens then q must hold: p → q. q → p is the most common error; it says having a ticket guarantees travel, which the sentence does not say.
Explanation: ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಶನ್, p = 1/2: E = 1/p = 2. 1 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಮೊದಲ ಎಸೆತದಲ್ಲೇ ಹೆಡ್ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದೆ, ಅದು ಅರ್ಧ ಸಮಯ ಮಾತ್ರ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. | Geometric distribution with p = 1/2: E = 1/p = 2. 1 is the near miss; it assumes a head on the first toss, which happens only half the time.
Explanation: ಪ್ರತಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಮೊದಲು 1 ಕೊಡಿ; ಉಳಿದ 7 ಅನ್ನು ಹಂಚಿ: C(7 + 2, 2) = C(9, 2) = 36. 66 ಎಂಬುದು ಋಣವಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿ, ಶೂನ್ಯ ಅನುಮತಿಸಿದ ತಪ್ಪು. | Give each variable 1 first and distribute the remaining 7: C(7 + 2, 2) = C(9, 2) = 36. 66 is the non-negative version, which wrongly allows zero.
Explanation: A ∩ B = ∅ ಆದ್ದರಿಂದ A ಯಿಂದ ತೆಗೆಯಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ: A − B = A. A − B = ∅ ಎಂಬುದು ವಿರುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿ, A ⊆ B ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸತ್ಯ. | A ∩ B = ∅, so nothing is removed from A: A − B = A. A − B = ∅ is the opposite situation, true only when A ⊆ B.
Explanation: ಡಯಾಗೊನಲ್‌ನ 3 ಜೋಡಿಗಳು, (1, 2), ಸಿಮೆಟ್ರಿಗಾಗಿ (2, 1): ಒಟ್ಟು 5. 4 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು (2, 1) ಅನ್ನು ಮರೆತಿದೆ. | The 3 diagonal pairs, (1, 2), and (2, 1) for symmetry: 5 in all. 4 is the near miss; it forgets (2, 1).
Explanation: ಪ್ರತಿ x ಗೆ, x ಪ್ರೀತಿಸುವ ಒಬ್ಬ y ಇದ್ದಾರೆ; y ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬೇರೆಯಾಗಬಹುದು. ∃y∀x L(x, y) ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಎಲ್ಲರೂ ಪ್ರೀತಿಸುವ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ ಇದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. L(y, x) ಆಯ್ಕೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದೆ: ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರನ್ನೂ ಯಾರೋ ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತಾರೆ. | For each x there is some y whom x loves; y may differ from person to person. ∃y∀x L(x, y) is the near miss; it says there is one person everyone loves. The L(y, x) option reverses the meaning: everybody is loved by somebody.
Explanation: ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸತ್ಯವಾದದ್ದು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸದಸ್ಯನಿಗೂ ಸತ್ಯ. ಹೊಸ ಕಾನ್ಸ್ಟಂಟ್ ಮಾತ್ರ ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧ ಎಕ್ಸಿಸ್ಟೆನ್ಶಿಯಲ್ ಇನ್‌ಸ್ಟಾಂಶಿಯೇಶನ್ (Existential Instantiation) ಗೆ ಸೇರಿದ್ದು. | What holds for all holds for any particular member. The new-constant restriction belongs to existential instantiation.
Explanation: 2 ಮತ್ತು 3 ಕ್ಕೆ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅಪ್ಪರ್ ಬೌಂಡ್ ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 6 ಇಲ್ಲ. ({1, 2, 3, 6}) ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: 6 ಇರುವುದರಿಂದ ಅದು ಲ್ಯಾಟಿಸ್. ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ (∪ ಮತ್ತು ∩). | 2 and 3 have no upper bound in the set, because 6 is absent. ({1, 2, 3, 6}) is the near miss: with 6 present it is a lattice. A power set is always a lattice under ∪ and ∩.
Explanation: ಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಶನ್ ಯಾವ ಷರತ್ತೂ ಇಲ್ಲದೆ ಸತ್ಯ. E(XY) ಮತ್ತು ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಅನ್‌ಕೊರಿಲೇಟೆಡ್) ಬೇಕು, ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪುಗಳು. Var(2X) = 4 Var(X). | Linearity of expectation holds with no conditions. The E(XY) and variance-sum formulas need independence (or zero correlation), the near misses. Var(2X) = 4 Var(X).
Explanation: ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ 4 ಆಯ್ಕೆ, ಎರಡನೆಯದು 3, ಮೂರನೆಯದು 2: P(4, 3) = 24. 4 ಎಂಬುದು C(4, 3), ಚಿತ್ರಣ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಎಣಿಸಿ ಕ್ರಮ ಮರೆತ ತಪ್ಪು. | The first element has 4 choices, the second 3, the third 2: P(4, 3) = 24. 4 is C(4, 3), counting image sets and forgetting order.
Explanation: p = F ಆದರೆ p → q = T, ಆದ್ದರಿಂದ (p → q) → r = r = F. ಆದರೆ p → (q → r) = T, ಏಕೆಂದರೆ p = F. ಆದ್ದರಿಂದ → ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಅಲ್ಲ. q ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆ ಎಂಬ ಆಯ್ಕೆ ತಪ್ಪು; ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸ q ಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಬರುತ್ತದೆ. | With p = F, p → q = T, so (p → q) → r = r = F. But p → (q → r) = T because p = F. So → is not associative. The option tying it to q is wrong; the difference appears for either value of q.
Explanation: 1 ಗಳು ಹೋಗುವ 3 ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ: C(10, 3) = 120. 720 ಎಂಬುದು P(10, 3); ಮೂರು 1 ಗಳು ಒಂದೇ ತರಹ, ಅವುಗಳ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. | Choose the 3 positions for the 1s: C(10, 3) = 120. 720 is P(10, 3); the three 1s are identical, so their order does not matter.
Explanation: ಸೀಮಿತ ಪೋಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯದಿಂದ ಮೇಲೆ ಹೋಗುವ ಸರಪಳಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಮುಗಿಯಬೇಕು; ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗೆ. ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ಇರದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಅನಂತ ಪೋಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಟೋಟಲ್ ಆರ್ಡರ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; {1, 2, 3, 6} ಉದಾಹರಣೆ. | In a finite poset every upward chain must end at some maximal element; with only one, everything lies below it. No greatest element is possible only in infinite posets. A total order is not required; {1, 2, 3, 6} shows why.
Explanation: p = F, q = T ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಪ್ರಿಮಿಸ್‌ಗಳು ಸತ್ಯ, ತೀರ್ಮಾನ ಅಸತ್ಯ; ಆದ್ದರಿಂದ ಅಮಾನ್ಯ. ಡಿನೈಯಿಂಗ್ ದಿ ಆಂಟಿಸಿಡೆಂಟ್ ಇನ್ನೊಂದು ತಪ್ಪು ವಾದ, ಆದರೆ ಅದು ¬p ಇಂದ ¬q ಪಡೆಯುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲಿನ ರೂಪ ಅದಲ್ಲ. | In the row p = F, q = T both premises are true and the conclusion is false, so it is invalid. Denying the antecedent is the other classic fallacy, but it goes from ¬p to ¬q; that is not the form here.
Explanation: ಡಯಾಗೊನಲ್‌ನ 4 ಸ್ಥಾನಗಳು ಸ್ಥಿರ, ಉಳಿದ 16 − 4 = 12 ಸ್ಥಾನಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ. 2 ರ ಘಾತ 10 ಎಂಬುದು ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ (Symmetric) ರಿಲೇಶನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು. | The 4 diagonal cells are fixed and the other 16 − 4 = 12 cells are free. 2 to the power 10 is the number of symmetric relations, the near miss.
Explanation: p ಮತ್ತು ¬p ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದಾಗುತ್ತವೆ; ಉಳಿದ ಲಿಟರಲ್‌ಗಳ ∨: q ∨ r. q ∧ r ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ (Resolution) ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಕ್ಲಾಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ∨. | p and ¬p cancel, and the remaining literals are ORed: q ∨ r. q ∧ r is the near miss: resolution always yields a clause, which is a disjunction.
Explanation: P(∅) = {∅}; 2 ರ ಘಾತ 0 = 1. 0 ಎಂಬುದು ∅ ಮತ್ತು {∅} ಗೊಂದಲದ ತಪ್ಪು; ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸದಸ್ಯನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿ ಅಲ್ಲ. | P(∅) = {∅}, and 2 to the power 0 = 1. 0 confuses ∅ with {∅}; a set containing the empty set is not empty.
Explanation: ಎಕ್ಸ್‌ಕ್ಲೂಸಿವ್ ಆರ್ (Exclusive OR) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬೇರೆಯಾದಾಗ ಸತ್ಯ; ಬೈಕಂಡಿಷನಲ್ ಒಂದೇ ಆದಾಗ ಸತ್ಯ; ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ನೆಗೇಶನ್. p ∨ q ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು: T, T ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಸತ್ಯ, ⊕ ಅಸತ್ಯ. | Exclusive OR is true when the values differ and the biconditional when they agree, so each is the negation of the other. p ∨ q is the near miss: in the T, T row it is true while ⊕ is false.
Explanation: ∃x P(x) ≡ P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) = T, ಏಕೆಂದರೆ 2 ಸಮ. ∀x P(x) ≡ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) = F. ∃x ¬P(x) ಅಸತ್ಯ ಎಂಬ ಆಯ್ಕೆ ತಪ್ಪು; 1 ಮತ್ತು 3 ಸಮವಲ್ಲ. | ∃x P(x) ≡ P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) = T because 2 is even. ∀x P(x) ≡ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) = F. The option that ∃x ¬P(x) is false fails; 1 and 3 are not even.
Explanation: ಮೋಡಸ್ ಟೋಲೆನ್ಸ್ (Modus Tollens) ತೀರ್ಮಾನದ ನಿರಾಕರಣೆಯಿಂದ ಹೈಪೋಥಿಸಿಸ್ ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೋಡಸ್ ಪೋನೆನ್ಸ್ (Modus Ponens) ಸಹೋದರ ನಿಯಮ; ಅದು p ಮತ್ತು p → q ಇಂದ q ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. | Modus tollens denies the hypothesis from the denial of the conclusion. Modus ponens is the sibling rule; it goes from p and p → q to q.
Explanation: ಸಾಬೀತು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುದುರೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ; k + 1 = 2 ಆದಾಗ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದೊಂದು ಕುದುರೆ, ಯಾವುದೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬೇಸ್ ಕೇಸ್ ಸರಿಯಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಕುದುರೆ ತನ್ನದೇ ಬಣ್ಣ. | The proof assumes the two groups share a horse; when k + 1 = 2 each group is a single horse and they share none. The base case is fine: one horse has one colour.
Explanation: ಪ್ರತಿ a ಯನ್ನು ಪ್ರತಿ b ಯೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು: 3 × 4 = 12. 7 ಎಂಬುದು ಯೂನಿಯನ್ ತರಹ ಕೂಡಿಸಿದ ತಪ್ಪು; 64 ಎಂಬುದು A ಯಿಂದ B ಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. | Each a pairs with each b: 3 × 4 = 12. 7 adds as if for a union; 64 is the number of functions from A to B.
Explanation: ಮೊದಲು R: 1 → 2, ನಂತರ S: 2 → 4, ಆದ್ದರಿಂದ (1, 4). 2 → 3 → 5, ಆದ್ದರಿಂದ (2, 5). ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಎಂಬುದು ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ R ∘ S ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ ಫಲ: S ನ ಗುರಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 5 R ನಲ್ಲಿ ಆರಂಭವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. | First R: 1 → 2, then S: 2 → 4, giving (1, 4). 2 → 3 → 5 gives (2, 5). The empty set comes from reversing the order and computing R ∘ S: the targets 4 and 5 of S start nothing in R.
Explanation: ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ ಸಬ್‌ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇರದಿರಬಹುದು: 2 ರ ಘಾತ 4 = 16. 15 ಹತ್ತಿರದ ತಪ್ಪು; ಅದು ಪ್ರಾಪರ್ ಸಬ್‌ಸೆಟ್‌ಗಳ (Proper Subsets) ಸಂಖ್ಯೆ. | Each element is either in a subset or not: 2 to the power 4 = 16. 15 is the near miss; it counts proper subsets.
Explanation: ಎಲ್ಲಾ x ಗೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಒಂದು y ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ x ಗೆ ಆ y ಅನ್ನೇ ಆರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆ ಇದರ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕು; ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ x + y = 0 ಅದನ್ನು ಅಸತ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. | If one y works for every x, each x can simply pick that y. The first option is the reverse direction; x + y = 0 over the integers makes it false.
Back to the UGC NET CS syllabus
