Daily current affairs on DailyCA
DailyCA NotesStudy notes for competitive exams My revisionsRevisions Sign in

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Discrete Probability), ಕಂಡಿಷನಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Conditional Probability) ಮತ್ತು ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ (Bayes Theorem) | Discrete Probability, Conditional Probability and Bayes Theorem

Advanced 18 min read Updated

In the syllabus of UGC NET CS

Saved in this browser only. Sign in to keep your ticks on every device. See all revisions due

Key points

  • ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಎಂದರೆ 1 ಕಳೆ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ. | At least one means 1 minus none.
  • ಮ್ಯೂಚುವಲಿ ಎಕ್ಸ್‌ಕ್ಲೂಸಿವ್ ಎಂದರೆ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಅಲ್ಲ. | Mutually exclusive does not mean independent.
  • ಬೇಯ್ಸ್: ಹಿಮ್ಮುಖ ಕಂಡಿಷನಲ್ ಅನ್ನು ಟೋಟಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. | Bayes: divide the reversed conditional by the total probability.
  • ಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಶನ್‌ಗೆ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ಬೇಕಿಲ್ಲ. | Linearity of expectation does not need independence.
  • ಬೈನಾಮಿಯಲ್: ಸರಾಸರಿ np, ವೇರಿಯನ್ಸ್ np(1 − p). | Binomial: mean np, variance np(1 − p).
On this page
  1. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು | Basic definitions
  2. ಕಂಡಿಷನಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Conditional Probability) ಮತ್ತು ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ (Independence) | Conditional probability and independence
  3. ಟೋಟಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Total Probability) ಮತ್ತು ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ (Bayes Theorem) | Total probability and Bayes theorem
  4. ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಶನ್ (Expectation) ಮತ್ತು ವೇರಿಯನ್ಸ್ (Variance) | Expectation and variance

ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು | Basic definitions

  • ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಯವಾದರೆ P(E) = n(E) / n(S). | When all outcomes are equally likely, P(E) = n(E) / n(S).
  • P(Eᶜ) = 1 − P(E). ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟ್ ಸುಲಭ ದಾರಿ. | P(Eᶜ) = 1 − P(E). For at-least-one questions the complement is the short route.
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

ಕಂಡಿಷನಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Conditional Probability) ಮತ್ತು ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ (Independence) | Conditional probability and independence

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B), ಇಲ್ಲಿ P(A/B) ಎಂದರೆ B ನೀಡಿದಾಗ A ಯ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ. | P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B), where P(A/B) means the probability of A given B.

A ಮತ್ತು B ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಆಗುವುದು P(A ∩ B) = P(A) P(B) ಆದಾಗ. | A and B are independent when P(A ∩ B) = P(A) P(B).

ಮ್ಯೂಚುವಲಿ ಎಕ್ಸ್‌ಕ್ಲೂಸಿವ್ (Mutually Exclusive) ಮತ್ತು ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ. ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವು ಎರಡೂ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ P(A ∩ B) = 0 ಆದರೆ P(A) P(B) > 0. | Mutually exclusive and independent are not the same. If both events have non-zero probability they cannot be both, since P(A ∩ B) = 0 while P(A) P(B) > 0.

ಪೇರ್‌ವೈಸ್ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ (Pairwise Independence) ಮ್ಯೂಚುವಲ್ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. | Pairwise independence does not imply mutual independence.

ಟೋಟಲ್ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ (Total Probability) ಮತ್ತು ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ (Bayes Theorem) | Total probability and Bayes theorem

B1, ..., Bn ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಪಾರ್ಟಿಶನ್ ಆದರೆ P(A) = ಮೊತ್ತ [P(A/Bi) P(Bi)]. | If B1, ..., Bn partition the sample space, P(A) = the sum of P(A/Bi) P(Bi).

ಬೇಯ್ಸ್: P(Bj/A) = P(A/Bj) P(Bj) / P(A). | Bayes: P(Bj/A) = P(A/Bj) P(Bj) / P(A).

ರೋಗ 1 ಶೇಕಡಾ ಜನರಲ್ಲಿ. ಪರೀಕ್ಷೆ ರೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ 99 ಶೇಕಡಾ ಧನಾತ್ಮಕ, ಆರೋಗ್ಯವಂತರಲ್ಲಿ 5 ಶೇಕಡಾ ತಪ್ಪು ಧನಾತ್ಮಕ. P(ಧನಾತ್ಮಕ) = 0.01 × 0.99 + 0.99 × 0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594. P(ರೋಗ / ಧನಾತ್ಮಕ) = 0.0099 / 0.0594 = 1/6, ಸುಮಾರು 16.7 ಶೇಕಡಾ. | A disease affects 1 per cent of people. The test is positive for 99 per cent of the sick and falsely positive for 5 per cent of the healthy. P(positive) = 0.01 × 0.99 + 0.99 × 0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594. P(disease / positive) = 0.0099 / 0.0594 = 1/6, about 16.7 per cent.

ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪು P(A/B) ಮತ್ತು P(B/A) ಗಳನ್ನು ಅದಲುಬದಲು ಮಾಡುವುದು. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಖರತೆ 99 ಶೇಕಡಾ ಎಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯಕ್ತಿ 99 ಶೇಕಡಾ ರೋಗಿ ಎಂದಲ್ಲ. | The usual Bayes error is swapping P(A/B) and P(B/A). A test that is 99 per cent sensitive does not make a positive person 99 per cent likely to be sick.

ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಶನ್ (Expectation) ಮತ್ತು ವೇರಿಯನ್ಸ್ (Variance) | Expectation and variance

  • E(X) = ಮೊತ್ತ [x P(X = x)]. ನ್ಯಾಯಯುತ ದಾಳ: 3.5. | E(X) = the sum of x P(X = x). A fair die: 3.5.
  • ಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಶನ್ (Linearity of Expectation): E(X + Y) = E(X) + E(Y), ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ. | Linearity of expectation: E(X + Y) = E(X) + E(Y), even without independence.
  • ಬೈನಾಮಿಯಲ್ (n, p): P(X = k) = C(n, k) p ರ ಘಾತ k (1 − p) ರ ಘಾತ (n − k); E(X) = np; Var(X) = np(1 − p). | Binomial (n, p): P(X = k) = C(n, k) p to the k (1 − p) to the (n − k); E(X) = np; Var(X) = np(1 − p).
  • ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ (Geometric): ಮೊದಲ ಯಶಸ್ಸಿಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು 1/p. | Geometric: the expected number of trials to the first success is 1/p.

Practice questions

Answer all, then check. Explanations appear after checking.

1ಎರಡು ನ್ಯಾಯಯುತ ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆದಾಗ ಮೊತ್ತ 7 ಆಗುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಎಷ್ಟು? | Two fair dice are rolled. What is the probability that the sum is 7?
2ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಎಸೆದಾಗ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಡ್ (Head) ಬರುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ? | A fair coin is tossed 3 times. What is the probability of at least one head?
3ರೋಗ 1 ಶೇಕಡಾ ಜನರಲ್ಲಿದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆ ರೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ 99 ಶೇಕಡಾ ಧನಾತ್ಮಕ, ಆರೋಗ್ಯವಂತರಲ್ಲಿ 5 ಶೇಕಡಾ ತಪ್ಪಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ. ಧನಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶ ಬಂದ ವ್ಯಕ್ತಿ ರೋಗಿಯಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ ಸುಮಾರು ಎಷ್ಟು? | A disease affects 1 per cent of people. A test is positive for 99 per cent of the sick and falsely positive for 5 per cent of the healthy. About how likely is a person who tests positive to be sick?
4P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2 ಆದರೆ ಯಾವುದು ಸರಿ? | If P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 and P(A ∩ B) = 0.2, which is correct?
5ಎರಡು ಮಕ್ಕಳಿರುವ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗ ಇದ್ದಾನೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಬ್ಬರೂ ಹುಡುಗರಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ? (ಪ್ರತಿ ಮಗು ಹುಡುಗ ಆಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ 1/2) | A family has two children and at least one is a boy. What is the probability both are boys, each child being a boy with probability 1/2?
6ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು 10 ಬಾರಿ ಎಸೆದಾಗ ನಿರೀಕ್ಷಿತ (expected) ಹೆಡ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯನ್ಸ್ (Variance) ಎಷ್ಟು? | A fair coin is tossed 10 times. What are the expected number of heads and the variance?
7ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಎಸೆದಾಗ ನಿಖರವಾಗಿ 2 ಹೆಡ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ? | A fair coin is tossed 4 times. What is the probability of exactly 2 heads?
8n ವಸ್ತುಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಶನ್‌ನಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೇ ಉಳಿಯುವ (fixed points) ವಸ್ತುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ? | In a random permutation of n objects, what is the expected number of objects left in their own place?
952 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಿಂದ ಬದಲಿಸದೆ (without replacement) 2 ಕಾರ್ಡ್ ತೆಗೆದಾಗ ಎರಡೂ ಏಸ್ (Ace) ಆಗುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ? | Two cards are drawn without replacement from 52. What is the probability that both are aces?
10ಚೀಲ 1 ರಲ್ಲಿ 3 ಕೆಂಪು, 2 ಕಪ್ಪು; ಚೀಲ 2 ರಲ್ಲಿ 1 ಕೆಂಪು, 4 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳು. ಒಂದು ಚೀಲವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆರಿಸಿ ಒಂದು ಚೆಂಡು ತೆಗೆದಾಗ ಅದು ಕೆಂಪು. ಅದು ಚೀಲ 1 ರಿಂದ ಬಂದಿರುವ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿ? | Bag 1 holds 3 red and 2 black balls; bag 2 holds 1 red and 4 black. A bag is chosen at random and a ball drawn is red. What is the probability it came from bag 1?
11ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪ್ರಾಬಬಿಲಿಟಿಯ ಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಮ್ಯೂಚುವಲಿ ಎಕ್ಸ್‌ಕ್ಲೂಸಿವ್ (Mutually Exclusive) ಆಗಿದ್ದರೆ | If A and B have non-zero probabilities and are mutually exclusive, then
12ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮೊದಲ ಹೆಡ್ ಬರುವವರೆಗೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಎಸೆತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ? | A fair coin is tossed until the first head. What is the expected number of tosses?
13ಎರಡು ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯ ಎಸೆತಗಳು. A: ಮೊದಲನೆಯದು ಹೆಡ್, B: ಎರಡನೆಯದು ಹೆಡ್, C: ಎರಡೂ ಒಂದೇ. ಯಾವುದು ಸರಿ? | Two fair coin tosses. A: first is a head, B: second is a head, C: both show the same face. Which is correct?
14X ಮತ್ತು Y ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರ್ಯಾಂಡಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು (Random Variables). ಯಾವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯ? | For any two random variables X and Y, which is always true?

Finished this topic? Tick it off.

Saved in this browser only. Sign in to keep your ticks on every device. See all revisions due